В поиске скрипта, добавляющего в конце url'а параметр

Смотрите в сторону mod_rewrite с помощью .htaccess

Странная логика, если нужно ко всем страницам добавить хвост.

Как вариант:

Попробуйте использовать для этого сессии.

И проверять не установку этого параметра в запроса, а наличие в сессии.

Вариант в лоб:

В самом начале скрипта вызываем

ob_start();

В самом конце вызываем

$data = ob_get_contents();

ob_end_clean();

$data = preg_replace('/a href="(.*)"/', 'a href="$1?parameter=yes"', $data); // добавляет ? , нужен вариант, когда ? уже есть в адресе.

Совершенно не ясно, но как вариант:

history.pushState({foo: 'bar'}, 'Title', '?param')

либо:

htaccess

Либо на самом движке..

Вообще не понятно точно как и ЗАЧЕМ и в каком месте URL меняется

Есть.

Называется QSA флаг в .htaccess

http://wiki.apache.org/httpd/RewriteQueryString